Question

（2008•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)的定義域為R，最大值為1（其中θ為常數(shù)，且-

π

2

≤θ≤

π

2

）．
（1）求角θ的值；
（2）若f（x₀）=1，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先利用余弦的和角公式展開，然后利用輔助角公式可求得函數(shù)的最大值，建立關(guān)于sinθ和cosθ的方程，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求出角θ的值；
（2）由（1）可求出函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x₀）=1建立等式關(guān)系，最后解三角方程求出x₀的值，代入cos2x₀求出其值即可．

解答：解：（1）由f(x)=

3

sinx+cos(x+θ)（θ為常數(shù)）
=

3

sinx+cosxcosθ-sinxsinθ
=(

3

-sinθ)sinx+cosθ•cosx≤

( 3 -sinθ)2+cos2θ

依題意知：(

3

-sinθ)2+cos2θ=1
化簡為：sinθ=

3

2

又-

π

2

≤θ≤

π

2

，故θ=

π

3

•…（6分）
（2）由（1）可知f(x)=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin(x+

π

6

)
∴sin(x0+

π

6

)=1∴x0=2kπ+

π

3

(k∈z)．
∴2x0=4kπ+

2π

3

(k∈z)
∴cos2x0=-

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及輔助角公式的應(yīng)用和三角方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．