Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和為6，離心率為

5

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)C（-1，0）與x軸垂直的直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸上方），求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，故可用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有橢圓定義得a=3，由離心率定義得c，最后由平方關(guān)系求b即可；（II）將x=-1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得弦長|AB|，在利用三角形面積公式即可得△OAB的面積

解答：解：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1
由橢圓定義知：2a=6，∴a=3
又∵e=

c

a

=

5

3

，∴c=

5

，∴b=2
故橢圓方程為

y2

9

+

x2

4

=1
（Ⅱ）由過點(diǎn)C（-1，0）與x軸垂直的直線l，與橢圓交于A、B兩個(gè)點(diǎn)
故將x=-1代入

y2

9

+

x2

4

=1，得y=±

3 3

2

∴|AB|=3

3

所以△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|AB|=

1

2

×1×3

3

=

3 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積的計(jì)算