Question

已知橢圓=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別是F₁(-c，0)、F₂(c，0)，Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足||=2a.點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足=0,||≠0.

(1)設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明||=a+；

(2)求點(diǎn)T的軌跡C的方程.

Answer 1

思路解析：本題主要考查平面向量、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，其中數(shù)形結(jié)合是解析幾何解決問題的常用方法.

(1)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

由P(x,y)在橢圓上，得||=

=.

由x≥-a，知a+≥-c+a＞0.所以||=a+.

(2)解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y),

當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.

當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，

由||·||=0，得⊥.

又||=||，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn).

在△QF₁F₂中，||=||=a，所以有x²+y²=a².

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡方程是x²+y²=a².

方法歸納  求軌跡時(shí)可以從兩個(gè)方面來解:設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用題目給出的條件整理得出方程；觀察曲線的幾何特征，直接由曲線的定義得出.