Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD垂直于△ABE所在的平面，且AE=1，BE=

3

（1）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（2）設線段EC的中點為F，求二面角A-FB-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AE=1，BE=

3

，AB=2，知∠AEB=

π

2

，再由正方形ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，能夠證明平面ADE⊥平面BCE．
（2）以A為原點，AB、AD分別為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能夠求出二面角A-FB-E的余弦值．

解答：（本題滿分12分）
（1）證明：∵AE=1，BE=

3

，AB=2，∴∠AEB=

π

2

，
又正方形ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE∴BE⊥平面ADE，∴BE?平面BCE，
∴平面ADE⊥平面BCE．…（6分）
（2）解：以A為原點，AB、AD分別為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則B（0，2，0），C（0，2，2），E（

3

2

，

1

2

，0），F(xiàn)（

3

4

，

5

4

，1），
∴

AB

=(0，2，0)，

AF

=(

3

4

，

5

4

，1)，

AE

=(

3

2

，

1

2

，0)，
設平面ABF的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

2y=0 3 4 x+ 5 4 y+z=0

，取

n

=(1，0，-

3

4

)，
而平面BEF的法向量為

AE

=(

3

2

，

1

2

，0)，
∴cos＜

AE

，

n

＞=

3 2

1+ 3 16

=

2 57

19

，
結合圖形知，二面角A-FB-E的余弦值為

2 57

19

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．