Question

若函數(shù)f(x)=

a

•

b

，

a

=(2cosx，cosx+sinx)，

b

=(sinx，cosx-sinx)．
（1）求f（x）的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程；
（2）若?x∈[0，

π

2

]，f(x)＜m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法表示出函數(shù)f（x）的解析式，再由三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性可得答案．
（2）先根據(jù)x的范圍求出2x+

π

4

的范圍，再由三角函數(shù)的圖象可得答案．

解答：解：∵

a

=(2cosx，cosx+sinx)，

b

=(sinx，cosx-sinx)，
∴f（x）=

a

•

b

=2cosxsinx+（cosx+sinx）（cosx-sinx）
=sin2x+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)=

2

sin(2x+

π

4

)
（1）令2x+

π

4

=kπ，則x=

kπ

2

-

π

8

(k∈Z)
∴f（x）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（

kπ

2

-

π

8

，0）（k∈Z）
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，則得，x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）
∴f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

，（k∈Z）
（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴-1≤f(x)≤

2

∴m＞

2

即m的取值范圍是：（

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題．屬中檔題．