Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（1）設b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內有極值點．若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題設可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，
∴為切點橫坐標，
于是，化簡得（b+1）²=4c．
得．
（2）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，
可得H'（x）=3x²+4bx+（b²+c）．
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依題設欲使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，
則須滿足
亦即 ，
又c＞0，∴
故存在常數(shù)，使得函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內有極值點．
分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，得到為切點橫坐標，再根據(jù)圖象的公共點的坐標，得，化簡得（b+1）²=4c．解方程，得．
（2）將已知函數(shù)代入，得：H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，求導數(shù)得H′（x）是一個二次函數(shù)，要使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內有極值點，說明方程H′（x）=0有兩個不同的根，再用根的判別式得到：，結合c＞0，∴，故存在常數(shù)c，使得函數(shù)
H（x）在（-∞，+∞）內有極值點．
點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間與極值，屬于中檔題．