Question

若函數y=a^x（a＞1）和它的反函數的圖象與函數y=

1

x

的圖象分別交于點A、B，若|AB|=2

2

，則a約等于

8.4

（精確到0.1）．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖，設A（x，a^x），函數y=a^x（a＞1）和它的反函數的圖象與函數y=

1

x

的圖象關于直線x-y=0 對稱，得出點A到直線y=x的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式及A（x，a^x）在函數y=

1

x

的圖象上得到a=（

2

+1） 

2

+1≈8.4即可．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖，
設A（x，a^x），
∵函數y=a^x（a＞1）和它的反函數的圖象與函數y=

1

x

的圖象關于直線x-y=0 對稱，
∴|AB|=2

2

，⇒點A到直線y=x的距離為

2

，
∴

|x-ax|

2

=

2

⇒a^x-x=2，①
又A（x，a^x）在函數y=

1

x

的圖象上，⇒a^x=

1

x

，②
由①②得：

1

x

-x=2⇒x=

2

-1，
∴a

2

-1-（

2

-1）=2，⇒a=（

2

+1） 

2

+1≈8.4
故答案為：8.4．

點評：本小題主要考查反函數、函數的圖象交點、點到直線的距離等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．