Question

【題目】如圖所示，∠PAQ是村里一個(gè)小湖的一角，其中∠PAQ=60°．為了給村民營(yíng)造豐富的休閑環(huán)境，村委會(huì)決定在直線湖岸AP與AQ上分別建觀光長(zhǎng)廊AB與AC，其中AB是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是800元/米；AC是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是400元/米；兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)預(yù)算為12萬(wàn)元（恰好都用完）；同時(shí)，在線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)D處建一個(gè)表演舞臺(tái)，并建水上通道AD（表演舞臺(tái)的大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是600元/米．

（1）若規(guī)劃寬長(zhǎng)廊AB與窄長(zhǎng)廊AC的長(zhǎng)度相等，則水上通道AD的總造價(jià)需多少萬(wàn)元？
（2）如何設(shè)計(jì)才能使得水上通道AD的總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AB=AC=x（單位：百米），

則寬長(zhǎng)廊造價(jià)為8x萬(wàn)元，窄長(zhǎng)廊造價(jià)為4x萬(wàn)元，

故兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為12x萬(wàn)元，所以12x=12，得x=1，

又∠PAQ=60°，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

又點(diǎn)D為線段BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以BD= ，

在△ABD中，由余弦定理得

AD2=BA2+BD2﹣2BABDcos∠ABD=1+ ﹣2× × = ，即AD= ．

又水上通道的造價(jià)是6萬(wàn)元/百米，所以水上通道的總造價(jià)為2 萬(wàn)元

（2）解：設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為8x+4y=12，

即2x+y=3，在△ABC中，由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=x2+y2﹣2xy =x2+y2﹣xy，

在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，得

= ，又BC=3BD，

得AD2= x2+ y2+ xy= x2+ （3﹣2x）2+ x（3﹣2x）= x2﹣ x+1

= （x﹣ ）2+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)，AD有最小值 ，

故總造價(jià)有最小值3 萬(wàn)元，此時(shí)y= ，

即當(dāng)寬長(zhǎng)廊AB為 百米（75米）、窄長(zhǎng)廊AC為 百米（150米）時(shí)，

水上通道AD有最低總造價(jià)為3 萬(wàn)元．

【解析】【（1）設(shè)AB=AC=x（單位：百米），由題意可得12x=12，即x=1，求得BD= ，在△ABD中，由余弦定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到所求造價(jià)；（2）設(shè)AB=x，AC=y（單位：百米），則兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為8x+4y=12，即2x+y=3，y=3﹣2x，運(yùn)用余弦定理求得BC，再在△ABC與△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，求得AD2的解析式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．