如圖,在x軸上方有一段曲線弧Γ,其端點A、B在x軸上(但不屬于Γ),對Γ上任一點P及點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),滿足:.直線AP,BP分別交直線于R,T兩點.
(1)求曲線弧Γ的方程;
(2)求|RT|的最小值(用a表示);
(3)曲線Γ上是否存點P,使△PRT為正三角形?若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由橢圓的定義和簡單性質(zhì)求得 Γ的方程.
(2) 設(shè)出P,R,T的坐標(biāo),由A,P,R三點共線,得 ①,由B,P,T三點共線得:②,變形得即.利用基本不等式求出|RT|的最小值.
(3)設(shè)P(x,y),線AP,BP的斜率存在,分別設(shè)為k1、k2 ,由正三角形的性質(zhì)得,
而由橢圓的方程知,矛盾,故不存在點P,使△PRT為正三角形.
解答:解:(1)由橢圓的定義,曲線Γ是以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點的半橢圓,,∴Γ的方程為
(2)解:設(shè)P(m,n),R(a,y1),T(a,y2),則由A,P,R三點共線,得 ①,
同理,由B,P,T三點共線得:②,由①×②得:
,代入上式,

,
當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|,即y1=-y2時,取等號.
即|RT|的最小值是
(3)設(shè)P(x,y),依題設(shè),直線l∥y軸,若△PRT為正三角形,則必有∠PAB=180°-∠PBx=30°,
從而直線AP,BP的斜率存在,分別設(shè)為k1、k2,由 ;,
于是有,而由橢圓的方程知 ,矛盾.
∴不存在點P,使△PRT為正三角形.(14分)
點評:本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,正確進行式子的運算是本題的難點.
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精英家教網(wǎng)如圖,在x軸上方有一段曲線弧Γ,其端點A、B在x軸上(但不屬于Γ),對Γ上任一點P及點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),滿足:|PF1|+|PF2|=2
2
.直線AP,BP分別交直線l:x=2于R,T兩點.
(1)求曲線弧Γ的方程;
(2)設(shè)R,T兩點的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,求證:y1y2=-1;
(3)求|RT|的最小值.

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2
.直線AP,BP分別交直線l:x=a (a>
2
)
于R,T兩點.
(1)求曲線弧Γ的方程;
(2)求|RT|的最小值(用a表示);
(3)曲線Γ上是否存點P,使△PRT為正三角形?若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由.

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2
.直線AP,BP分別交直線l:x=a(a>
2
)于R,T兩點.
(Ⅰ)求曲線弧C的方程;
(Ⅱ)求|RT|的最小值(用a表示).

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