Question

設(shè)P是曲線C₁上的任一點，Q是曲線C₂上的任一點，稱|PQ|的最小值為曲線C₁與曲線C₂的距離．
（1）求曲線C₁：y=e^x與直線C₂：y=x-1的距離；
（2）設(shè)曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距離為d₁，直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）在曲線C₁上任取一點P（x，e^x），由點到直線的距離公式求出點P（x，e^x）到y(tǒng)=x-1的距離，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x+1，利用導(dǎo)函數(shù)求其最小值；
（2）結(jié)合（1）中的過程可知，d1=

|m+1|

2

，由兩條平行線間的距離公式得d2=

|m-1|

2

，作和后利用絕對值的不等式求最小值．

解答：解：（1）要求曲線C₁與直線C₂的距離，只需求曲線C₁上的點到直線y=x-1距離的最小值．
設(shè)曲線C₁上任意一點為P（x，e^x），則點P（x，e^x）到y(tǒng)=x-1的距離d=

|x-ex-1|

2

=

|ex-x+1|

2

．
令f（x）=e^x-x+1，則f'（x）=e^x-1，
由f'（x）=e^x-1=0，得x=0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）=e^x-1＞0
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f'（x）=e^x-1＜0．
故當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）=e^x-x+1取極小值，也就是最小值為f（0）=2，
所以d=

|ex-x+1|

2

取最小值

2

，故曲線C₁與曲線C₂的距離為

2

；   
（2）由（1）可知，曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m的距離d1=

|m+1|

2

，
由兩條平行線間的距離公式得直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離d2=

|m-1|

2

，
則d1+d2=

|m+1|

2

+

|m-1|

2

=

1

2

(|m+1|+|m-1|)
≥

1

2

|m+1-m+1|=

2

，
所以d₁+d₂的最小值為

2

．

點評：本題考查了點到直線的距離公式，考查了函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值和利用絕對值不等式求最值，是中檔題．