已知).
(1)若時,求函數在點處的切線方程;
(2)若函數在上是減函數,求實數的取值范圍;
(3)令是否存在實數,當是自然對數的底)時,函數的最小值是.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(1);(2);(3)存在實數,使在上的最小值是.
【解析】
試題分析:(1)當時, ,求其在切點處的導函數值,得到切線斜率,由點斜式即得所求;
(2)函數在上是減函數,轉化成在上恒成立;
令,解即得;
(3)假設存在實數,使在上的最小值是,根據,
討論當、 、等三種情況時,令,求解即得.
(1)當時, 1分
,函數在點處的切線方程為 3分
(2)函數在上是減函數
在上恒成立 4分
令,有得 6分
7分
(3)假設存在實數,使在上的最小值是3
8分
當時,,在上單調遞減,
(舍去) 10分
當且時,即,在上恒成立,在上單調遞減,(舍去) 11分
當且時,即時,令,得;,得
在上單調遞減,在上單調遞增
,滿足條件 13分
綜上所述,存在實數,使在上的最小值是. 14分
考點:應用導數研究函數的單調性、最(極)值,導數的幾何意義,不等式恒成立問題,轉化與化歸思想,分類討論思想.
科目:高中數學 來源:2015屆北京市朝陽區(qū)高三上學期期中統(tǒng)一考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設函數滿足下列條件:
(1)對任意實數都有;
(2),,.
下列四個命題:
①;
②;
③;
④當,時,的最大值為.
其中所有正確命題的序號是( )
A.①③ B.②④ C.②③④ D.①③④
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年山東省煙臺市高三5月適應性訓練一理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
定義2×2矩陣,若,則的圖象向右平移個單位得到的函數解析式為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年山東省煙臺市高三5月適應性訓練一文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
某數學興趣小組有男女生各名.以下莖葉圖記錄了該小組同學在一次數學測試中的成績(單位:分).已知男生數據的中位數為,女生數據的平均數為.
(1)求,的值;
(2)現(xiàn)從成績高于分的同學中隨機抽取兩名同學,求抽取的兩名同學恰好為一男一女的概率.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年山東省煙臺市高三5月適應性訓練一文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A. B. C.4 D.
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年山東省濰坊市高三第二次模擬考試理科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線 的左、右焦點分別是、過垂直x軸的直線與雙曲線C的兩漸近線的交點分別是M、N,若為正三角形,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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