Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，則數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和S_n=

n

n+1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求出a_n，進而可求得b_n，利用裂項相消法可求得S_n．

解答：解：設公比為q，則a₄=a₁q³=3q³=81，
解得q=3，所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
b_n=log₃a_n=log33n=n，所以

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
S_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案為：

n

n+1

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，考查裂項相消法求和，若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，則數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和可運用裂項相消法求和，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）．