Question

已知函數(shù)f（x）=

1，(x＞0) 0   (x=0) -1  (x＜0)

下列敘述：
①f（x）是奇函數(shù)；
②y=xf（x）為奇函數(shù)；
③（x+1）f（x）＜3的解為-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解為-1＜x＜1．
其中正確的是

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

分析：由題中的函數(shù)解析式和奇函數(shù)的定義分別去判斷①和②；根據(jù)分段函數(shù)對(duì)x分三種情況，求解對(duì)應(yīng)的不等式得解集，最后再并在一起，再與給出的答案對(duì)照．

解答：解：①由題意知f（0）=0且函數(shù)的定義域是R，當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）=-1=-f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=-1=-f（x），故①對(duì)；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）=（-1）（-x）=x=f（x），則不是奇函數(shù)，故②不對(duì)；
③當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0＜3，成立；當(dāng)x＞0時(shí)，不等式為x+1＜3解得0＜x＜2；
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式為-x-1＜3，解得-4＜x＜0；
綜上，不等式得解集是（-4，2），故③不對(duì)；
④當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+1）=0＜3，成立；當(dāng)x＞-1時(shí)，不等式為x＜0解得-1＜x＜0；
當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式為-x＜0，解得無解；
綜上，不等式得解集是[-1，0），故③不對(duì)；
故答案為①．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是分段函數(shù)判斷奇偶性和求分段函數(shù)構(gòu)成的不等式的解集，需要根據(jù)分段函數(shù)的不同范圍對(duì)應(yīng)不同的解析式進(jìn)行對(duì)x分類進(jìn)行求解．