如下圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)證明:PA⊥平面ABCD；

(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

證明：(1)∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,?

∴AB=AD=AC=a.?

在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,?

可知PA⊥AB,?

同理PA⊥AD,?

∵AB∩AD=A,?

∴PA⊥平面ABCD.?

(2)當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC,證明如下.?

證法一:取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則?

FM∥CE.                       ①?

由EM=PE=ED,知E是MD的中點(diǎn).?

連結(jié)BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn).?

所以BM∥OE.                  ②?

由①②知，平面BFM∥平面AEC.?

又BF 平面BFM,所以BF∥平面AEC.?

證法二:因?yàn)?IMG align="middle" alt=Equation.3 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/41/64/189806416410006564/1.jpg" align=absMiddle>=+Equation.3=+(+)?

=++?

=+(-)+(-)?

=-,?

所以、、共面.?

又BF 平面AEC,從而BF∥平面AEC.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且邊長(zhǎng)為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD．

(2)求證：AD⊥PB．

(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如下圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).

(1)證明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值.

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