如圖所示,PA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,ADBC,AB⊥AC,且AB=AC=2,G為△PAC的重心,E為PB的中點,F(xiàn)在線段BC上,且CF=2FB.
(1)求證:FG平面PAB;
(2)求證:FG⊥AC;
(3)當PA長度為多少時,F(xiàn)G⊥平面ACE?
精英家教網(wǎng)

精英家教網(wǎng)
(1)連接CG交AP于M點,連接BM.
CG
GM
=
CF
BF
=
2
1

∴FGBM,
又BM?平面PAB,F(xiàn)G?平面PAB
∴FG平面PAB.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AC,
又∵AC⊥AB,PA∩AB=A.
∴AC⊥平面PAB,∴AC⊥BM,
∵FGBM,∴FG⊥AC.
(3)連結(jié)EM,由(2)知FG⊥AC,若FG⊥平面ACE,
則FG⊥AE,即BM⊥AE,又EM=
1
2
AB=1
,
設EA∩BM=H,則EH=
1
2
HA
,
設PA=a,則EA=
1
2
PB=
1
2
4+a2
,EH=
1
3
EA=
1
6
4+a2

因為Rt△AME~Rt△MHE,
所以EM2=EH?EA,
1=
1
2
4+a2
?
1
6
4+a2
,解得a=
8
=2
2

即PA=2
2
時,F(xiàn)G⊥平面ACE.
練習冊系列答案
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如圖所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,PA=AB=2,N為PC的中點.
(1)求證:BD⊥平面PAC.     
(2)求二面角B-AN-C的正切值.

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如圖所示,PA⊥平面ABC,點C在以AB為直徑的⊙O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,,點E為線段PB的中點,點M在AB弧上,且OM∥AC.
(1)求證:平面MOE∥平面PAC;
(2)求證:BC⊥平面PAC;
(3)求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,PA=
6
,AD=2,BC=
3
2
,∠ADC=60°,O為四棱錐P-ABCD內(nèi)一點,AO=1,
若DO與平面PCD成角最小角為α,則α=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且2PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點.
(Ⅰ)求異面直線EF與AG所成角的余弦值;
(Ⅱ)求證:BC∥面EFG;
(Ⅲ)求三棱錐E-AFG的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是邊長為1的正方形.點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.
(1)當點E為BC的中點時,試在AB上找一點G,使得平面PAC∥平面EFG.求此時AG的長度;
(2)證明:無論點E在邊BC的何處,都有PE⊥AF.

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