Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，曲線分別與軸正半軸和軸正半軸交于點(diǎn)，，為直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，且．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求點(diǎn)軌跡圍成的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求解.

（2）由（1）知，，則可求直線的極坐標(biāo)方程為，在極坐標(biāo)系中，設(shè)，，則，點(diǎn)在直線上，代入與Q點(diǎn)關(guān)系即可得到Q的軌跡方程，化簡并轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程可得軌跡為圓，求圓面積即可.

（1）∵，∴．

由得，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程．

（2）由（1）知，，

則直線的直角坐標(biāo)方程為，

極坐標(biāo)方程為．

在極坐標(biāo)系中，設(shè)，，則．

∵點(diǎn)在直線上，∴，

∴，

即，即．

∴點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為，

即，

∴點(diǎn)的軌跡為半徑為的圓，圓的面積為．