Question

已知橢圓，斜率為1且過橢圓C₁右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，且與a=（3，-1）共線．
（1）求橢圓C₁的離心率．
（2）試證明直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂的乘積k₁•k₂為定值，并求值．
（3）若，試判斷點M是否在橢圓上，并說明理由．

Answer 1

解：設F（c，0），則直線l方程為y=x-c，代入橢圓方程：
，（a²+b²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0
∴，；
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c
∴4
得a²=3d²
∴a²=3（a²-c²）
得：
∴橢圓離心率為．
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²
∴
∴
∴
∴直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值
（3）設點M為（x₀，y₀），則
且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0
∴
∴點M為（x₀，y₀）符合橢圓方程，
∴點M在橢圓上．
分析：（1）直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率
（2）由（1）可知{a²=3b²，c²=2b²從而，即可求得直線OA斜率k₁與直線OB斜率k₂乘積為定值；
（3）先設點M為（x₀，y₀），則，且由（2）知：x₁x₂+3y₁y₂=0，轉化成等式：
從而得出點M在橢圓上．
點評：考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．是高考常見題型且是解答題．