Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式得出，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)函數(shù)，等價(jià)于直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）由題意得出，將兩個(gè)等式相加得，利用分析法得出要證的不等式等價(jià)于，再將兩等式相減得出，并證明出不等式，從而可得出，從而得出，即可證明所證不等式成立.

（1）時(shí)，，則，

由，得；，得.

因此，函數(shù)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為；

（2），其中，

由題意可知，、是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)．

由得，結(jié)合（1），則問(wèn)題也等價(jià)于在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)，

從而，可轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，

由（1）知，函數(shù)在上單減，在上單增，

而當(dāng)時(shí)，，，，

如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3）由（2）可知，、為在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)根，

且，其中是函數(shù)的極小值點(diǎn)，.

由，可得

故所證.

下面證明出，即證.

設(shè)，即證，即證.

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)時(shí)，，所以，.

將等式兩式相減得，.

，因此，.

所以，.