Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標軸的交點分別是點A，B，且以點A，B為切點的切線互相平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，求函數(shù)F（x）的極值；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x，我們把|f（x）-g（x）|的值稱為兩函數(shù)在x處的偏差，求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值；
（Ⅱ）利用導函數(shù)，找到函數(shù)的單調區(qū)間，進而得到極值；
（Ⅲ）整理出偏差函數(shù)，求其最小值大于2即可得證．
解答：解：（Ⅰ），
函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），
函數(shù)y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0），
由題意得，
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴函數(shù)F（x）的遞減區(qū)間是（0，1），遞增區(qū)間是（1，+∞），
所以函數(shù)F（x）極小值是F（1）=1，函數(shù)F（x）無極大值（8分）
（Ⅲ）函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），∴
設x=t為的解，即
則當x∈（0，t）時，F(xiàn)'（x）＜0，當x∈（t，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）內單調遞減，在（t，+∞）上單調遞增，∴（10分）
∵，∴，
故，
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2（14分）
點評：本題綜合考查了導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在解決恒成立問題、最值問題中的應用，解題時要善于構造新函數(shù)解決不等式恒成立問題，計算要認真細致