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對一切正數m，不等式n＜
4
m
+2m恒成立，則常數n的取值范圍為（　�。�
分析：根據題意，將不等式n＜
4
m
+2m對一切正數m恒成立轉化為n＜（
4
m
+2m）min，利用基本不等式即可求得（
4
m
+2m）min，從而解得常數n的取值范圍．
解答：解：∵不等式n＜
4
m
+2m對一切正數m恒成立，
∴n＜（
4
m
+2m）min，
∵m＞0，
∴
4
m
+2m≥2
4
m
•2m
=4
2
，
當且僅當
4
m
=2m，即m=
2
時取等號，
∴（
4
m
+2m）min=4
2
，
∴n＜4
2
，
∴常數n的取值范圍為（-∞，4
2
）．
故選B．
點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用，恒成立問題的求解．在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解，本題運用了最值法進行求解恒成立問題．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設單調遞增函數f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數x，y有f（xy）=f（x）+f（y），且f(
1
2
)=-1．
（1）一個各項均為正數的數列{an}滿足：f（sn）=f（an）+f（an+1）-1其中Sn為數列{an}的前n項和，求數列{an}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，是否存在正數M使下列不等式：2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)對一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•嘉定區(qū)一模）設正數數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數m，使得不等式Sn-1005＞
a
2
n
2
對一切滿足n＞m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請構造一個與數列{Sn}有關的數列{un}，使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在，并求出這個極限值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}是由正數組成的等差數列，Sn是其前n項的和，并且a3=5，a4S2=28．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（3）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列{bn}，設Tn是數列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設正數數列{an} 的前n項和為 Sn，且對任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）求數列{an} 的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數m，使得不等式Sn-1005＞
an22
對一切滿足n＞m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由．

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