Question

設函數(shù)f（x）=4lnx-（x-1）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）+x²-4x-a=0在區(qū)間[1，e]內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關鍵，利用導數(shù)作為工具，求出該函數(shù)的單調遞增區(qū)間即為f'（x）＞0的x的取值區(qū)間；
（II）利用函數(shù)思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數(shù)，研究構造函數(shù)的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=4lnx-（x-1）²．
∴f′（x）=

4

x

-2x+2=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x-2)(x+1)

x

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x∈（0，2）
故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，2）
（II）關于x的方程f（x）+x²-4x-a=0
可化為4lnx-（x-1）²+x²-4x-a=4lnx-2x-1-a=0
令g（x）=4lnx-2x-1-a
則g′（x）=

4

x

-2
令g′（x）=0，則x=2，
則當0＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)
當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)
故當方程f（x）+x²-4x-a=0在區(qū)間[1，e]內(nèi)恰有兩個相異的實根時

g(1)=-3-a≤0 g(2)=4ln2-5-a＞0 g(e)=3-2e-a≤0

解得3-2e≤a＜4ln2-5
故實數(shù)a的取值范圍為[3-2e，4ln2-5）

點評：本題考查導數(shù)的工具作用，考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的知識．考查學生對方程、函數(shù)、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數(shù)的圖象交點問題，屬于綜合題型．