Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x=±

4 3

3

，點(diǎn)P(

3

，y0)在橢圓C上且|PF|=

1

2

．
（I）求橢圓C的方程； 
（II）已知圓O：x²+y²=1的一條切線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且切線AB與圓D的切點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，求△AQF周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出了橢圓的準(zhǔn)線方程，則有

a2

c

=

4 3

3

，給出了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離，又給出了點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，則可得到橢圓的離心率，由準(zhǔn)線方程和離心率的值聯(lián)立可求a、b、c，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出圓的切線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)A，在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原點(diǎn)距離與圓的半徑表示，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上把
|AQ|化簡，由焦半徑公式表示出|AF|，可求得|AQ|+|AF|為定值，要使△AQF的周長最小，則只要|QF|最小即可，顯然當(dāng)Q是圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)|QF|最小，則最小值可求．

解答：解：（Ⅰ）由準(zhǔn)線方程得

a2

c

=

4 3

3

①，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

3

，所以點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為

4 3

3

-

3

=

3

3

，
又P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離|PF|=

1

2

，所以

c

a

=

1 2

3 3

=

3

2

②，聯(lián)立①②得，a=2，c=

3

，又b²=a²-c²，∴b=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）如圖，

設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），則|AQ|=

|AO|2-1

=

x02+y02-1

，
又由于點(diǎn)A在橢圓上，則

x02

4

+y02=1，所以x02+y02-1=

3

4

x02，
所以|AQ|=

3 4 x02

=

3

2

x0  （x₀＞0，因?yàn)榍悬c(diǎn)Q在y軸右側(cè)），
令由焦半徑公式可得|AF|=2-

3

2

x0，
于是|AQ|+|AF|=

3

2

x0+2-

3

2

x0=2．
要使△AQF的周長最小，則只要|QF|最小即可，
顯然當(dāng)Q的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，|QF|最短，為

3

-1．
所以，△AQF周長的最小值為2+

3

-1=

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓的關(guān)系，采用了設(shè)而不求的方法，運(yùn)用了整體運(yùn)算思想，求三角形面積最小值時(shí)運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，題目綜合考查了學(xué)生綜合思維能力和靈活計(jì)算能力，屬難題．