Question

如圖，有一塊拋物線形鋼板，其垂直于對(duì)稱軸的邊界線AB長(zhǎng)為2r，高為4r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，以AB為下底，上底CD的端點(diǎn)在拋物線上，記CD=2x，梯形面積為S．求面積S，使其為以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，則B（r，-4r），設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0），代入確定拋物線的方程，進(jìn)而確定點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，由此可得梯形的面積及函數(shù)的定義域．

解答：解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則B（r，-4r）
設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
∵B（r，-4r）在拋物線上，
∴r²=8pr，
∴p=

r

8

∴拋物線方程為x2=-

r

4

y
∵C的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y=-

4x2

r

∴梯形ABCD的高為h=4r-

4x2

r

∴S=

1

2

(2r+2x)•(4r-

4x2

r

)=

4

r

(x+r)(r2-x2)
其定義域?yàn)椋?，r）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的運(yùn)用，考查梯形面積的計(jì)算，確定拋物線的解析式是關(guān)鍵．