Question

設函數f（x）=x³+ax²+bx（a∈R），已知曲線y=f（x）在點M（-1，f（-1））處的切線方程是y=4x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[m，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則先求出f^′（x），由題意可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，解出即可；
（II）利用（I）可得f^′（x），令f^′（x）=0，解得x=1或-

1

3

．分類討論m與-

1

3

的大小關系及單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f^′（x）=3x²+2ax+b，
由題意可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，
∴

a=-1 b=-1

．
（Ⅱ）由（I）可知：f（x）=x³-x²-x，
∴f^′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f^′（x）=0，解得x=1或-

1

3

．
①當-

1

3

＜x＜1時，f^′（x）＜0，∴f（x）在[m，1]上單調遞減，
∴f（x）的最大值為：f（m）=m³-m²-m；
②當m=-

1

3

時，同上；
③當m＜-

1

3

時，由x∈(m，-

1

3

)，得f^′（x）＞0，f（x）在此區(qū)間上單調遞增；
由x∈(-

1

3

，1)，f^′（x）＜0，f（x）在此區(qū)間上單調遞減．
故f（x）在x=-

1

3

時取得極大值，也是最大值，f(-

1

3

)=

5

27

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值及分類討論的思想方法是解題的關鍵．