Question

下列說法：
①若sinθ=-

4

5

，tanθ＞0，則cosθ=

3

5

；
②若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；
③f（x）=

2011-x2

+

x2-2011

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
④已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）．其中所有正確說法的序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)sinθ=-

4

5

，tanθ＞0，則必有cosθ＜0，可判定真假；②根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知區(qū)間[2a-1，a+4]應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求出a的值，再根據(jù)f（x）是偶函數(shù)求出b的值，可判定真假；③先化簡(jiǎn)f（x）可判定真假；④先求出x∈（-∞，0）時(shí)的函數(shù)解析式從而求出x∈R時(shí)的解析式，可判定真假．

解答：解：①中必有cosθ＜0，顯然錯(cuò)誤；
②依條件知，區(qū)間[2a-1，a+4]應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴（2a-1）+（a+4）=0，得a=-1；又f（x）是偶函數(shù)，則2a+b=0，故b=2；
③中定義域是{x|x=±

2011

}，且化簡(jiǎn)得f（x）=0，故是既奇又偶的函數(shù)；
④中當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，-x∈（0，+∞），則f（-x）=-x（1-x），又f（-x）=-f（x），故f（x）=x（1-x）（x＜0），綜合可得f（x）=x（1+|x|），故正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)奇偶性的判定和三角不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．