已知四棱錐中P-ABCG中，底面ABCG是矩形，D為AG的中點，BC=2AB=2，又PB⊥平面ABCG，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD．

解：（Ⅰ）取BC中點F，連接AF，則CF=AD且CF∥AD
∴四邊形ADCF是平行四邊形?AF∥CD
∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA、CD所成的角
∵PB⊥平面ABCG，BA、BF是平面ABCG內(nèi)的直線
∴PB⊥BA，PB⊥BF
∵PB=AB=BF=1，AB⊥BC
∴PA=PF=AF=?△PAF是等邊三角形，∠PAF=60°
∴異面直線PA與CD所成的角為60°
（II）由（I）知，CF=BF=DF
∴∠CDB=90°?CD⊥BD
又∵PB⊥平面DBC?PB⊥CD
∵PB∩BD=B
∴CD⊥平面BDP?CD⊥BE
在Rt△PBD中，PB=1、BD=
∴
∵DE=2PE，得
∴?△PBE∽△PDB
∴BE⊥PD
∵CD∩PD=D
∴BE⊥平面PCD
分析：（I）取BC中點F，連接AF，可以證出四邊形ADCF是平行四邊形，得到CD與AF互相平行，從而得到AF與PA所成的直角或銳角就是異面直線PA與CD所成的角，再利用垂直關(guān)系和已知的線段長可計算出△PAF是等邊三角形，故異面直線PA與CD所成的角為60°；
（II）利用中線等于一邊的一半證明出CD⊥BD，結(jié)合CD⊥PB得到CD⊥平面PBD，從而CD⊥BE．再在Rt△PBD中利用已知線段的長可以算出，從而利用相似三角形證出BE⊥PD，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PCD．
點評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了直線與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面CDAB，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1．求點D到平面PBC的距離．
A、
2
2
B、
1
2
C、
1
3
D、
3
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求證：AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中點，求三棱錐M-ACD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD中，P在底面的射影O是四邊形ABCD內(nèi)切圓的圓心，給定的四個命題：
①各側(cè)面和底面所成的二面角相等；
②點O到各側(cè)面的距離相等；
③側(cè)棱PA=PB=PC=PD；
④△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積之比是AB：BC：CD：DA．
其中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為
6
4
，△ABC中，|AB|=|AC|=
7
2
，|BC|=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD中，點M是PC的中點，點E是AB上的一個動點，且該四棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是直角三角形．
（I）求證：PA∥平面BDM；
（II）若點E是AB的中點，求證：CE⊥平面PDE；
（III）無論點E在何位置，是否均有三棱錐C-PDE的體積為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

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