Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

169

+

y2

144

=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的左右兩焦點(diǎn)．
（1）求該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、右準(zhǔn)線方程；
（2）一拋物線以橢圓的中心為頂點(diǎn)、橢圓的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線，求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）當(dāng)∠F₁PF₂=30°時(shí)，求△PF₁F₂的面積；
（4）點(diǎn)Q是圓F₂：（x-5）²+y²=25上一動(dòng)點(diǎn)，求PF₁+PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

169

+

y2

144

=1的標(biāo)準(zhǔn)方程得出a=13，b=12，c=5，從而得到長(zhǎng)軸長(zhǎng)26，右準(zhǔn)線方x=

169

5

；
（2）欲求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，只須求出其焦參數(shù)p即可，由

1

2

p=

169

5

，p=

169

5

×2=135.2，最后寫(xiě)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）先設(shè)出PF₁=r₁，PF₂=r₂，由題意2c=10，利用余弦定理得出r₂r₁=576（2-

3

），根據(jù)面積公式即可求得△PF₁F₂的面積；
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ），故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)P，F(xiàn)₂，Q共線時(shí)，PF₂-PQ最大從而得到PF₁+PQ的最小值．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

169

+

y2

144

=1
∴a=13，b=12，c=5，
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)26，右準(zhǔn)線方x=

169

5

…（4分）
（2）∵

1

2

p=

169

5

，p=

169

5

×2=67.6
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y²=-135.2x…（8分）
（3）PF₁=r₁，PF₂=r₂，由題意2c=10，100=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos30°，r₁+r₂=26..（11分）
∴r₂r₁=576（2-

3

）
∴△PF₁F₂的面積=

1

2

r₂r₁sin30°=144（2-

3

）…（13分）
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ）
故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，
由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)P，F(xiàn)₂，Q共線時(shí)，PF₂-PQ最大，最大值為圓F₂：（x-5）²+y²=25的半徑5
故PF₁+PQ的最小值為26-5=21…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線和圓的方程的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．