Question

如圖為正方體ABCD-A₁B_!C_!D₁切去一個三棱錐B₁-A_!BC₁后得到的幾何體．
（1）畫出該幾何體的正視圖；
（2）若點O為底面ABCD的中心，求證：直線D₁O∥平面A₁BC₁；
（3）求證：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正視圖的定義，其正視圖為正方形，看到的一條棱是正方形的對角線；
（2）將其補成正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)B₁D₁和A₁C₁交于點O₁，連接O₁B，證明D₁O∥O₁B，再證明線面平行；
（3）利用線線垂直證明A₁C₁⊥平面BD₁D，再由線面垂直證明面面垂直．

解答：解：（1）幾何體的正視圖為：
（2）將其補成正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)B₁D₁和A₁C₁交于點O₁，連接O₁B，
依題意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，
∴四邊形D₁OBO₁為平行四邊形，∴D₁O∥O₁B，
∵BO₁?平面BA₁C₁，D₁O?平面BA₁C₁，
∴直線D₁O∥平面A₁BC₁．
（3）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，則DD₁⊥A₁C₁，
又∵B₁D₁⊥A₁C₁且DD₁∩B₁D₁，
∴A₁C₁⊥平面BD₁D，又∵A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

點評：本題考查了幾何體的三視圖，考查了線面平行的證明及面面垂直的證明，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯推理能力．