Question

【題目】已知拋物線：，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若在軸上存在點，過點的直線分別與拋物線相交于，兩點，且為定值，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求得點的坐標，由點到直線距離公式求得，由拋物線的定義求得，根據的值列方程，解方程求得的值，由此求得拋物線方程.（2）設點的坐標為，設直線的方程為，聯立直線的方程和拋物線的方程，消去得到關于的一元二次方程，寫出判別式和韋達定理.化簡的表達式，根據為定值求得的值，由此求得點的坐標.

解：（1）由題意知，焦點的坐標為，則，，

又，解得：.

故拋物線的標準方程為.

（2）設點的坐標為，設點，的坐標分別為，，

顯然直線的斜率不為0.

設直線的方程為.

聯立方程，消去，并整理得，

則且，.

由，.

有.

若為定值，必有.

所以當為定值時，點的坐標為.