Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，焦距為，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，△PF₁F₂的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，若，，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）．
因?yàn)榻咕酁?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/40.png' />，所以c=．
當(dāng)點(diǎn)P在短軸的頂點(diǎn)時(shí)，P到F₁F₂的距離最大，所以此時(shí)△PF₁F₂的面積最大，
所以，所以．
因?yàn)閍²=b²+c²=4，所以a²=4，
所以橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：依題意，直線l的斜率存在，可設(shè)為k，則直線l：y=k（x-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立消y得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
顯然△＞0，且 ，．
因?yàn)橹本�l交y軸于點(diǎn)N，所以N（0，-k）．
所以，，且
所以x₁=λ₁（1-x₁），所以，
同理．
所以 ．
即λ₁+λ₂為定值是．…（14分）
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦距為，求得c的值，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P在短軸的頂點(diǎn)時(shí)，P到F₁F₂的距離最大，所以此時(shí)△PF₁F₂的面積最大為2，建立方程，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓方程聯(lián)立，利用，，用A，B的橫坐標(biāo)表示λ₁，λ₂，從而可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．