在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA=
1
3
．
（1）求2sin2(
π
3
+
B+C
2
)+sin
4π
3
cos(
π
2
+A)的值； 
（2）若a=
3
，求三角形面積的最大值．
分析：（1）由降冪公式結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式把式子化間為只含有sinA和cosA的式子，代值即可；（2）由余弦定理及基本不等式可求最值．
解答：解：（1）2sin2(
π
3
+
B+C
2
)+sin
4π
3
cos(
π
2
+A)
=1-cos（
2π
3
+B+C）+sin
π
3
sinA
=1-cos
2π
3
cos（B+C）+sin
2π
3
sin（B+C）+sin
π
3
sinA
=1-
1
2
cosA+
3
2
sinA+
3
2
sinA
=
5
6
+
2
6
3
．
（2）∵
b2+c2-a2
2bc
=cosA=
1
3
，∴
2
3
bc=b2+c2-a2≥2bc-a2．
又a=
3
，∴bc≤
9
4
，
當且僅當b=c=
3
2
時，bc=
9
4
，故bc的最大值是
9
4
．
∵cosA=
1
3
，∴sinA=
2
2
3
，S=
1
2
bcsinA≤
3
4
2
．
故三角形面積的最大值是
3
2
4
．
點評：本題為三角形，三角函數(shù)以及基本不等式的綜合應(yīng)用，熟記公式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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