Question

已知函數f（x）=x³+bx²+ax+d的圖象過點P（0，2），且在點M（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為6x﹣y+7=0．

（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：

導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性．

分析：

（Ⅰ）求解析式，只需把a，b，d三個字母求出即可．已知點P（0，2）滿足f（x），得到d，又點M（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為6x﹣y+7=0，可以得到f（﹣1）的值，并且得到f（x）在x=﹣1處的導數為6．

（Ⅱ）利用導數研究函數的單調性即可求出函數的單調區(qū)間．

解答：

解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象經過P（0，2），∴d=2，

∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f'（x）=3x²+2bx+a．

∵點M（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為6x﹣y+7=0

∴f'（x）|_x=﹣1=3x²+2bx+a|_x=﹣1=3﹣2b+a=6①，

還可以得到，f（﹣1）=y=1，即點M（﹣1，1）滿足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②

由①、②聯立得b=a=﹣3

故所求的解析式是f（x）=x³﹣3x²﹣3x+2．

（Ⅱ）f'（x）=3x²﹣6x﹣3．，令3x²﹣6x﹣3=0，即x²﹣2x﹣1=0．

解得．當；

當．

故f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）；單調減區(qū)間為（1﹣，1+）

點評：

本題主要考查了兩個知識點，一是導數的幾何意義，二是利用導數研究函數的單調性，屬于函數這一內容的基本知識，更應該熟練掌握．