Question

已知

a

= (2cosx，1)、

b

=(cosx，

3

sin2x+m)，f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，f（x）的最大值為6，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x） 的 解析式為2sin（2x+

π

6

）+m+1，由
 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出函數(shù)在[0，π]上的增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，f（x）=2+m+1 的值為6，由此求得m 值

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=(2cosx ，1) • (cosx，

3

sin2x+m)=2cos2x+

3

sin2x + m 
=cos2x+

3

sin2x+m+1=2sin（2x+

π

6

）+m+1．
由   2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，故函數(shù)在[0，π]上的增區(qū)間為
[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即 x=

π

6

 時(shí)，
f（x）=2+m+1 的值為6，∴m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，求出f（x） 的解析式，
是解題的關(guān)鍵．