Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）有最大值？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）
．（2分）
由題意得對(duì)一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴．（5分）
當(dāng)x∈[-3，-2）時(shí)，，
∴．故．（7分）
（Ⅱ）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使得成立.．（9分）
由，得，
∴．由于，故應(yīng)舍去．
當(dāng)時(shí)，．（11分）
令，解得或．（13分）
另解：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使得成立．
設(shè)，則．（9分）
由，解得或．
因?yàn)閤∈（-∞，1），
∴g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∴．（11分）
令，解得或．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在[-3，-2）恒為正，通過(guò)二次函數(shù)的最值求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使得f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）有最大值，直接求出a的值．
另解：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使得成立．設(shè)，求出＞0，解得或．通過(guò)x∈（-∞，1），g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．得到，解得或．
點(diǎn)評(píng)：本題只要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，特別注意新變量的取值范圍，同時(shí)也考查了二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，恒成立問(wèn)題，屬中檔題．