Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離等于它到定直線l：y+1=0的距離
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程
（2）經(jīng)過點(diǎn)F，傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A、B兩點(diǎn)，求|AB|
（3）設(shè)過點(diǎn)G（0，4）的直線n交M的軌跡于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：OC⊥OD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離等于它到定直線l：y+1=0的距離，建立方程，化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求出過點(diǎn)F，傾斜角為30°的直線m，與（1）中軌跡方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，再求|AB|；
（3）設(shè)出方程，與（1）中軌跡方程聯(lián)立，再求出OC，OD的斜率，證明其乘積為-1即可．

解答：（1）解：點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離是|MF|=

x2+(y-1)2

，點(diǎn)M到直線y+1=0的距離是d=|y+1|
根據(jù)題意，得x²+（y-1）²=（y+1）²
x²+y²-2y+1=y²+2y+1
即y=

x2

4

∴點(diǎn)M的軌跡方程是y=

x2

4

；
（2）解：∵傾斜角為30°，∴直線m的斜率為

3

3

∵F（0，1），∴直線m的方程為：y=

3

3

x+1
與拋物線方程聯(lián)立

y= x2 4 y= 3 3 x+1

消去y可得，

x2

4

 -

3

3

x-1=0
∴x₁=2

3

或x2=-

2 3

3

∴y₁=3或y2=

1

3

∴A(2

3

，3)，B(-

2 3

3

，

1

3

)
∴|AB|=

(2 3 + 2 3 3 )2+(3- 1 3 )2

=

16

3

（3）證明：過G（0，4）的直線為 y=kx+4
代入拋物線方程，得

x2

4

=kx+4
即x²-4kx-16=0
∵過點(diǎn)G（0，4）的直線n交M的軌跡于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16
∵OC 的斜率是

y1

x1

，OD的斜率是

y2

x2

∴

y1

x1

×

y2

x2

=

1 4   x 2 1 × 1 4 x 2 2

x1x2

= 

x1x2

16

=-1
∴OC⊥OD

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．