Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知O為AC與BD的交點(diǎn)，M為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁O⊥AM；
（2）設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，若 T是D₁D或其延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，求使B₁T⊥平面MAC時(shí)DT的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先證B₁O⊥MAC，證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時(shí)候題目中沒(méi)有現(xiàn)成的直線與直線垂直，需要我們先通過(guò)直線與平面垂直去轉(zhuǎn)化一下，如欲證B₁O⊥AC，可以先證明AC⊥平面BB₁O，從而B₁O⊥AM；
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)使B₁T⊥平面MAC，建立等式關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）證明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．設(shè)棱長(zhǎng)為2
連接MO、MB₁，則MO=

3

，B₁O=

6

，MB₁=3．
∵M(jìn)O²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵M(jìn)O∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．
∴B₁O⊥AM；
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
A（1，0，0），C（0，1，0），M（0，0，

1

2

），B₁（1，1，1）
設(shè)點(diǎn)T（0，0，t），則

B1T

=(-1，-1，t-1)
而

AC

=(-1，1，0)，

AM

=(-1，0，

1

2

)
∵使B₁T⊥平面MAC
∴

B1T • AC =1-1=0 B1T • AM  =1+ 1 2 (t-1)=0

解得t=-1
∴DT=1時(shí)使B₁T⊥平面MAC

點(diǎn)評(píng)：證明直線與直線垂直常用的方法有勾股定理、通過(guò)直線與平面垂直轉(zhuǎn)化，以及利用空間向量解立體幾何等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．