在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和

 （Ⅰ）求點P的軌跡C；

 （Ⅱ）設(shè)過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。

（Ⅰ）點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線

（Ⅱ）線段MN長度的最大值為


解析:

（Ⅰ）設(shè)點P的坐標為（x，y），則3︳x-2︳

由題設(shè)當x>2時，由①得

  化簡得 

當時  由①得

  化簡得                        

故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），

B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當點P在上時，由②知

.                 ④

當點P在上時，由③知

                   ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

（i）當k≤，或k≥，即k≤-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C 上，此時由④知

∣MF∣= 6 -     ∣NF∣= 6 -

從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -

因為當

     

當且僅當時，等號成立。

（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設(shè)點在上，點上，則④⑤知，

   設(shè)直線AF與橢圓的另一交點為E

      

   所以。而點A，E都在上，且

   有（1）知

若直線的斜率不存在，則==3，此時

綜上所述，線段MN長度的最大值為

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

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如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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