Question

已知圓C：x²+y²+2x+a=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx+y+1=0對(duì)稱(chēng)．
（I）求m的值；
（Ⅱ）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，

OA

•

OB

=-3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求圓C的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性判定直線過(guò)圓心，先求圓心坐標(biāo)，再代入直線方程求解；
（II）設(shè)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算與韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．

解答：解：（I）x²+y²+2x+a=0⇒（x+1）²+y²=1-a，圓心（-1，0）．
∵圓C：x²+y²+2x+a=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx+y+1=0對(duì)稱(chēng)，∴直線過(guò)圓心，
∴-m+0+1=0⇒m=1，
故m的值為1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+x₁+x₂+1

x+y+1=0 x2+y2+2x+a=0

⇒2x²+4x+1+a=0，
根據(jù)韋達(dá)定理：x₁+x₂=-2；x₁x₂=

1+a

2

．
∴1+a-2+1=-3⇒a=-3．
∴圓C的方程是：（x+1）²+y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)及向量坐標(biāo)運(yùn)算．巧妙的利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求是求解本題的關(guān)鍵．