設(shè)函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f()=4x-+1,數(shù)列{an}和{bn}滿足下列條件:a1=1,an+1-2an=f(n),bn=an+1-an(n∈N*).
(1)求f(x)的解析式.
(2)求{bn}的通項公式bn.
(3)試比較2an與bn的大小,并證明你的結(jié)論.
(1) f(x)=2x+1 (2) bn=3·2n-2 (3)見解析
【解析】(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,
∴2f()-f(x)=-2x+1.
聯(lián)立方程組
①×2+②,得3f(x)=6x+3
∴f(x)=2x+1.
(2)由題設(shè)an+1=2an+2n+1 、,
an+2=2an+1+2n+3 ④,
④-③得an+2-an+1=2(an+1-an)+2,
即bn+1=2bn+2,∴bn+1+2=2(bn+2),
∴{bn+2}為等比數(shù)列.
q=2,b1=a2-a1=4,bn+2=6·2n-1,
∴bn=3·2n-2.
(3)由(2),知an+1-an=3×2n-2,而已知an+1-2an=2n+1,聯(lián)立解得an=3×2n-2n-3,
∴2an=6×2n-4n-6,
∴2an-bn=3×2n-4(n+1).
當n=1時,2a1-b1=-2<0,∴2a1<b1;
當n=2時,2a2-b2=0,∴2a2=b2;
當n=3時,2a3-b3=8>0,∴2a3>b3;
當n=4時,2a4-b4=28>0,∴2a4>b4.
猜想當n≥3時,2an>bn即3×2n>4(n+1).
當n=3時,顯然成立,
假設(shè)當n=k(k≥3)時,命題正確,
即3×2k>4(k+1).
當n=k+1時,
即3×2k+1=2×(3×2k)>8(k+1)=8k+8
=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).
不等式也成立,故對一切n≥3且n∈N*,
2an>bn.
綜上所述,當n=1時,2an<bn;
當n=2時,2an=bn;
當n≥3時,2an>bn.
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十五第七章第四節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
若α,β是兩個相交平面,點A不在α內(nèi),也不在β內(nèi),則過點A且與α和β都平行的直線( )
(A)只有1條 (B)只有2條
(C)只有4條 (D)有無數(shù)條
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十三第七章第二節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使BD=a,則三棱錐D -ABC的體積為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知ABCD為四面體,O為△BCD內(nèi)一點(如圖),則=(++)是O為△BCD的重心的( )
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既不充分又不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,M是AC與BD的交點,若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是( )
(A)-a+b+c (B)a+b+c (C)a-b+c (D)-a-b+c
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十一第六章第七節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
用數(shù)學歸納法證明:(n+1)+ (n+2)+…+(n+n)=(n∈N*)的第二步中,當n=k+1時等式左邊與n=k時的等式左邊的差等于 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十一第六章第七節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
某個命題與正整數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得
(A)n=6時該命題不成立 (B)n=6時該命題成立
(C)n=4時該命題不成立 (D)n=4時該命題成立
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)十第二章第七節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=()x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,令h(x)=g(1-|x|),則關(guān)于h(x)有下列命題:
①h(x)的圖象關(guān)于原點對稱;
②h(x)為偶函數(shù);
③h(x)的最小值為0;
④h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
其中正確命題的序號為 .(將你認為正確的命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)十八第三章第二節(jié)練習卷(解析版) 題型:解答題
已知sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的兩個根.
(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.
(2)求tan(π-θ)-的值.
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