Question

【題目】已知二次函數(shù)為偶函數(shù)且圖象經(jīng)過原點，其導(dǎo)函數(shù)的圖象過點．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，其中m為常數(shù)，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法依題意可設(shè)，根據(jù)該函數(shù)為偶函數(shù)可得，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象過點，可得；（2）由（1）可得： 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分為， 和三種情形判斷其單調(diào)性得其最值.

試題解析：（1）因為二次函數(shù)經(jīng)過原點，可設(shè)，又因為為偶函數(shù)，所以對任意實數(shù)，都有，即，所以對任意實數(shù)都成立，故．所以， ，又因為導(dǎo)函數(shù)的圖象過點，所以，解得．所以．

（2）據(jù)題意， ，即

① 若，即，當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為．

② 若，即，當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞增，故的最小值為．

③ 若，即，當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞增，故的最小值為．

綜上所述，當(dāng)時， 的最小值為；當(dāng)時， 的最小值為；當(dāng)時， 的最小值為．