Question

在棱長為α的正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點．
（1）求證：E、F、B、D四點共面；
（2）求證：平面AMN∥平面EFDB；
（3）求平面AMN和平面BFED間的距離．

Answer 1

（1）證明：，而E、F分別是、的中點， ∴， ∴E、F、B、D四點共面．
（2）證明：連結(jié)AC交BD于O點，連結(jié)A′C′，交MN、EF于G、K， 連結(jié)AG、OK， ，， ∴， 又且， ∴，∴四邊形AOKG為平行四邊形 ，∴AG∥OK， ∴AG∥平面BEFD， 又， ∴MN∥平面BFED， ∴平面AMN∥平面BFED． （3）解：過G作GH⊥OK于H，則GH即為所求， ， ∴， 又， ∴， 又， ∴∽△GHK，∴， 又∵，∴， 又 ∵，， ∴， 所以，平面AMN與平面BFED之間距離為。