Question

已知a、b、c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．
（1）若b²=ac，求角B的范圍．
（2）若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b²=ac，代入余弦定理求得cosB的值，進(jìn)而求得B．
（2）根據(jù)正弦定理把邊得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題，進(jìn)而求得sin2A=sin2B，判斷出A-B=kπ或A+B=kπ+

π

2

推斷出△ABC為等腰三角形或直角三角形．

解答：解：（1）∵b2=ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又∵0＜B＜π?∴0＜B≤

π

3

；
（2）由正弦定理得，2RsinAcosA=2RsinBcosB
∴sin2A=sin2B，
∴2B=2kπ+2A或2B=（2k+1）π-2A
故A-B=kπ或A+B=kπ+

π

2

，
又△ABC中，A+B+C=π，
得：0＜A+B＜π，且-π＜A-B＜π．
即A-B=0或A+B=

π

2

．
也即△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的形狀判斷．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理完成邊角問(wèn)題的互化．