Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(m+1)x+m+2>0對(duì)任意x∈[1,1]恒成立，設(shè)h(x)=x2(m+1)x+m+2，通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的范圍，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

(1)對(duì)稱(chēng)軸x=，且圖象開(kāi)口向上。

若函數(shù)g(x)在[2,4]上具有單調(diào)性，

則滿足2或4，

解得：m5或m9；

(2)若在區(qū)間[1,1]上,函數(shù)y=g(x)的圖象恒在y=2x9圖象上方，

則只需：>2x9在區(qū)間[1,1]恒成立，

即(m+1)x+m+2>0對(duì)任意x∈[1,1]恒成立，

設(shè)h(x)=x2(m+1)x+m+2其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=，且圖象開(kāi)口向上

①當(dāng)1即m1時(shí),h(x)在[1,1]上是減函數(shù)，

所以h(x)min=h(1)=2>0，

所以：m1；

②當(dāng)1<<1,即3<m<1,函數(shù)h(x)在頂點(diǎn)處取得最小值，

即h(x)min=h()=m+2>0,解得：<m<1；

③當(dāng)1即m3時(shí),h(x)在[1,1]上是增函數(shù)，

所以,h(x)min=h(1)=2m+4>0，解得：m&g;2，

此時(shí)，m∈；

綜上所述：.