【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB＝2，AD＝4，

AP＝4，F是線段BC的中點(diǎn).

⑴ 求證：面PAF面PDF；

⑵ 若E是線段AB的中點(diǎn)，在線段AP上是否存在一點(diǎn)G，使得EG面PDF？若存在，求出線段AG的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）PA面ABCD， 面ABCD， PADF ，在矩形內(nèi)根據(jù)F是線段BC的中點(diǎn)和長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求得AFDF，即得證 (2)解法一：延長(zhǎng)AB交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)PM.這樣將面PDF延伸，當(dāng)EGPM時(shí)存在一點(diǎn)G，使得EG面PDF 解法二：構(gòu)造平行四邊形，取DF中點(diǎn)I，連結(jié)EI，過點(diǎn)G作AD的平行線交PD于點(diǎn)H，連結(jié)GH、HI.證得四邊形GEIH是平行四邊形，根據(jù)線面平行判定定理即可證得。

解析：⑴ PA面ABCD， 面ABCD， PADF，

又在底面ABCD中， ， ，

， AFDF，

， DF面PAF，

面PDF，面PAF面PDF.

解⑵：法一、假設(shè)在線段AP上存在點(diǎn)G，使得EG面PDF.連結(jié)AB并延長(zhǎng)交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)PM.

F是線段BC的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，

，

EG面PDM， 面PAM，面PAM 面PDM=PM，

EGPM，

， ，

故在線段AP上存在點(diǎn)G，使得EG面PDF，此時(shí).

法二、假設(shè)在線段AP上存在點(diǎn)G，使得EG面PDF.取DF中點(diǎn)I，連結(jié)EI，過點(diǎn)G作AD的平行線交PD于點(diǎn)H，連結(jié)GH、HI.

E是線段AB的中點(diǎn)， 是梯形ABFD的中位線，

，EIGH，

EG面PDF， 面GEIH，面GEIH 面PDM=IH，

EGIH，

四邊形GEIH是平行四邊形，

，

， ，

故在線段AP上存在點(diǎn)G，使得EG面PDF，此時(shí).

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（1）試求出a、b的值；
（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10）．

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A.
B.
C.
D.

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