Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，對任何正整數(shù)n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列？若是，請求出通項(xiàng)公式，若不是，請說明理由；   
（3）求證：

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）仿寫等式，兩式相減得到 a_nb_n⁼n•2^（n-1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn=2^（n-1）代入求出a_n=n
（2）由 a_nb_n⁼n•2^（n-1） 得到 a_n=

n•2n-1

bn

，an-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，an-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，利用等差中項(xiàng)的定義得到
等式，判斷出數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．
（3）求出

1

aibi

=

1

i•2i-1

，通過放縮法得到要證的不等式．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
兩式相減 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
因?yàn)閧b_n} 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列則bn=2^（n-1）
所以a_n=n （2）{an}是等差數(shù)列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
所以 a_n=

n•2n-1

bn

，
an-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，
an-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，
{an}是等差數(shù)列 2a_（n-1）=a_（n-2）+a_n 即）2

(n-1)•2n-2

bn-1

= 

(n-2)•2n-3

bn-2

+

n•2n-1

bn

4(n-1)

bn-1

=

(n-2)

bn-2

+

4n

bn

若{bn}是等比數(shù)列，
則b_（n-1） ²=b_（n-2）•b_n 兩式顯然不合
所以數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列
（3）aibi=i•2^（i-1） 所以

1

aibi

=

1

i•2i-1

所以

n

i=1

1

aibi

=

1

1×20

+

1

2×2

+

1

3×23

+…+

1

n•2n-1

＜1+

1

4

+

1

23

+…+

1

2n-1

=1+

1 4 - 1 2n

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n-1

＜

3

2

得證．

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．