Question

某縣位于山區(qū)，居民的居住區(qū)域大致呈如右圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成，若AB=60km，AE=CD=30km，為了解決當(dāng)?shù)厝嗣窨措娨曤y的問(wèn)題，準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺(tái)，理想方案是轉(zhuǎn)播臺(tái)距五邊形各頂點(diǎn)的距離平方和最小，圖中P₁、P₂、P₃、P₄是AC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺(tái)應(yīng)建在（　�。�

A．P₁處

B．P₂處

C．P₃處

D．P₄處

Answer 1

分析：以AB為x軸，AE為y軸建立直角坐標(biāo)系，建立表達(dá)式，利用配方法，即可得到結(jié)論．

解答：解：以AB為x軸，AE為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0）、B（60，0）、C（30，30）、D（30，60）、E（0，30），
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則
f（x，y）=|AP|²+|BP|²+|CP|²+|DP|²+|EP|²
=x²+y²+（x-60）²+y²+（x-30）²+（y-30）²+（x-30）²+（y-60）²+x²+（y-30）²
=5x²+5y²-240x+240y+10800
=5（x-24）²+5（y-24）²+5040．
當(dāng)x=y=24時(shí)，f（x，y）有最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（24，24），與點(diǎn)P₁重合．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．