Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點C、C₁）上確定一點E的位置，使得二面角B-AB₁-E的余弦值為，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)本題條件，需要證明BC₁AB⊥，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC；則需要通過解三角形來證明
（2）過點E作EG⊥BB₁于點G，過點G作GH⊥AB₁于點H，則∠EHG為所求二面角的平面角，，設(shè)CE=x，列出相應的方程并探討解的情況．
解答：證明：（1）因為AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BC₁C中，由余弦定理有：
=，
故有BC²+BC₁²=CC₁²∴C₁B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC；
（2）∵AB⊥面BB₁C₁C
過點E作EG⊥BB₁于點G，過點G作GH⊥AB₁于點H，則∠EHG為所求二面角的平面角，設(shè)CE=x，則，得
在面ABB₁A₁中，
所以，得x=1，即E為中點
點評：本題主要考查空間角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法