Question

已知圓C：(x－4)²＋(y－m)²＝16(m∈N^*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點，且被圓C所截得的弦長為，點A(3,1)在橢圓E上．
(1)求m的值及橢圓E的方程；
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍．

Answer 1

（1）m＝4  ＋＝1
（2）[－12,0]

(1)因為直線4x－3y－16＝0被圓C所截得的弦長為，所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離為＝，
即＝，解得m＝4或m＝－4(舍去)．
又直線4x－3y－16＝0過橢圓E的右焦點，所以橢圓E的右焦點F₂的坐標為(4,0)，則其左焦點F₁的坐標為(－4,0)．
因為橢圓E過A點，所以|AF₁|＋|AF₂|＝2a，
所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a²＝18，b²＝2，
故橢圓E的方程為＋＝1．
(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，則＝(x－3，y－1)，則·＝x＋3y－6．令x＋3y＝n，
則由，消去x得18y²－6ny＋n²－18＝0．
因為直線x＋3y＝n與橢圓E有公共點，
所以Δ＝(－6n)²－4×18×(n²－18)≥0，
解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0]．