【題目】設(shè)f(x)=xex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=(x+1)2 . (I)記
(i)討論函數(shù)F(x)單調(diào)性;
(ii)證明當(dāng)m>0時,F(xiàn)(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立;
(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),設(shè)函數(shù)G(x)有兩個零點,求參數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ) = (x≠﹣1), (i)F′(x)= = ,…
所以,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)減;
當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)增;
(ii)F(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m)= = e2m+1),
令φ(m)= e2m+1=e2m +1(m>0),
φ′(m)=2e2m = >0,…
所以φ(m)在m>0遞增,即有φ(m)>φ(0)=0,又 >0,
所以m>0時,F(xiàn)(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m)= e2m+1)>0恒成立,即
當(dāng)m>0時,F(xiàn)(﹣1+m)>F(﹣1﹣m)恒成立.
(Ⅱ)由已知,G(x)=af(x)+g(x)=axex+(x+1)2 ,
G′(x)=a(x+1)ex+2(x+1)=(x+1)(aex+2).
①當(dāng)a=0時,G(x)=(x+1)2 , 有唯一零點﹣1;
②當(dāng)a>0時,aex+2>0,所以
當(dāng)x<﹣1時,G′(x)<0,G(x)單調(diào)減;
當(dāng)x>﹣1時,G′(x)>0,G(x)單調(diào)增.
所以G(x)極小值為G(﹣1)=﹣ <0,
因G(0)=1>0,所以當(dāng)x>﹣1時,G(x)有唯一零點;
當(dāng)x<﹣1時,ax<0,ex ,所以axex
所以G(x)>> +(x+1)2=x2+(2+ )x+1,
因為(2+ 2﹣4×1×1= +( 2>0,
所以,t1 , t2 , 且t1<t2 , 當(dāng)x<t1 , 或x>t2時,使x2+(2+ )x+1>0,
取x0∈(﹣∞,﹣1)∪(﹣∞,t1),則G(x0)>0,從而可知
當(dāng)x<﹣1時,G(x)有唯一零點,
即當(dāng)a>0時,函數(shù)G(x)有兩個零點.
③當(dāng)a<0時,G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ )),由G′(x)=0,得x=﹣1,或x=ln(﹣ ).
①若﹣1=ln(﹣ ),即a=﹣2e時,G′(x)=﹣2e(x+1)(ex )≤0,
所以G(x)是單調(diào)減函數(shù),至多有一個零點;
②若﹣1>ln(﹣ ),即a<﹣2e時,G′(x)=a(x+1)(ex﹣(﹣ )),
注意到y(tǒng)=x+1,y=ex+ ,都是增函數(shù),
所以,當(dāng)x<ln(﹣ )時,G′(x)<0,G(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)ln(﹣ )<x<﹣1時,G′(x)>0,G(x)是單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)x>﹣1時,G′(x)<0,G(x)是單調(diào)減函數(shù).
G(x)的極小值為G(ln(﹣ ))=aln(﹣ )(﹣ )+(ln(﹣ )+1)2=ln2(﹣ )+1>0,
所以G(x)至多有一個零點;
③若﹣1<ln(﹣ ),即0>a>﹣2e時,同理可得
當(dāng)x<﹣1時,G′(x)<0,G(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)﹣1<x<ln(﹣ )時,G′(x)>0,G(x)是單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)x>ln(﹣ )時,G′(x)<0,G(x)是單調(diào)減函數(shù).
所以G(x)的極小值為G(﹣1)=﹣ <0,G(x)至多有一個零點.
綜上,若函數(shù)G(x)有兩個零點,則參數(shù)a的取值范圍是(0,+∞).
【解析】(Ⅰ)(i)求出F(x0的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(ii)作差可得F(﹣1+m)﹣F(﹣1﹣m),令φ(m)= e2m+1,求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性即可得證;(Ⅱ)由已知,求得G(x)的導(dǎo)數(shù),討論a=0,a>0,a<0,運用單調(diào)性,求出G(x)的極小值,結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù),即可得到所求a的范圍.
【考點精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列判斷錯誤的是

A. 若隨機變量服從正態(tài)分布,;

B. 組數(shù)據(jù)的散點都在上,則相關(guān)系數(shù);

C. 若隨機變量服從二項分布, ;

D. 的充分不必要條件;

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【題目】保險公司統(tǒng)計的資料表明:居民住宅區(qū)到最近消防站的距離x(單位:千米)和火災(zāi)所造成的損失數(shù)額y(單位:千元)有如下的統(tǒng)計資料:

距消防站距離x(千米)

1.8

2.6

3.1

4.3

5.5

6.1

火災(zāi)損失費用y(千元)

17.8

19.6

27.5

31.3

36.0

43.2

如果統(tǒng)計資料表明yx有線性相關(guān)關(guān)系,試求:

(Ⅰ)求相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);

(Ⅱ)求線性回歸方程(精確到0.01);

(III)若發(fā)生火災(zāi)的某居民區(qū)與最近的消防站相距10.0千米,評估一下火災(zāi)的損失(精確到0.01).

參考數(shù)據(jù):,,

,,

參考公式:相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,

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【題目】公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出n的值為( ) (參考數(shù)據(jù): ≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)

A.12
B.24
C.36
D.48

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【題目】已知數(shù)列的前項和為,.其中為常數(shù).

(1)求的值及數(shù)列的通項公式;

(2)記,數(shù)列的前項和為,若不等式對任意恒成立 ,求實數(shù)的取值范圍.

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A.
B.
C.
D.e+ ﹣1

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【題目】設(shè)橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。

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【題目】已知關(guān)于x的不等式:|2x﹣m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2.
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(Ⅱ)已知a,b,c∈R,若4a4+4b4+4c4=m,求a2+b2+c2的最大值.

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【題目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時間與每天獲得的利潤(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù).

星期

星期2

星期3

星期4

星期5

星期6

利潤

2

3

5

6

9

1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;

2)估計星期日獲得的利潤為多少萬元.

參考公式:

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