Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（1）設G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；
（2）在△ABO內是否存在一點M，使FM⊥平面BOE，若存在，請找出點M，并求FM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取PE中點H，連接FH、GH，利用三角形中位線定理，結合平面與平面平行的判定定理，證出平面BEO∥平面FGH，進而可得FG∥平面BOE；
（2）等腰Rt△ABC證出BO⊥AC，從而得到BO⊥平面APC，所以BO⊥PQ，過P在平面APC內作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點M，連接FM．可得PQ⊥平面BEO且FM∥PQ，得FM⊥平面BEO，所以BQ中點即為滿足條件的點M．再利用解三角形的知識，可算出PQ=

15

2

，得到FM=

15

4

．

解答：解：（1）取PE中點H，連接FH、GH，
∵F，H分別為PB，PE中點，∴△PBE中，FH∥BE，
∵FH?平面BEO，BE?平面BEO，∴FH∥平面BEO
同理，可得HG∥平面BEO
∵FH∩HG=H，FH、HG?平面FGH
∴平面BEO∥平面FGH，
∵FG?平面FGH，∴FG∥平面BEO．   …（5分）
（2）∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且O為AC中點，∴BO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，BO?平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴BO⊥平面APC．結合PQ?平面APC，得BO⊥PQ
過P在平面APC內作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點M，連接FM，
∵BO∩EO=O，BO、EO?平面BEO，∴PQ⊥平面BEO，
∵△PBQ中，點F、M分別為PB、QB的中點，
∴FM∥PQ，且FM=

1

2

PQ
結合PQ⊥平面BEO，得FM⊥平面BOE，即BQ中點M即為所求．
Rt△PCQ中，cos∠PCQ=

162+102-102

2×16×10

=

4

5

，得CQ=

5

4

PC=

25

2

∴PQ=

CQ2-PQ2

=

15

2

，可得FM=

1

2

PQ=

15

4

因此，在平面ABC內，存在△ABO的中線BQ上的點M，滿足M為BQ的中點時，FM⊥平面BOE，此時FM=

15

4

…（12分）

點評：本題給出特殊三棱錐，求證線面平行并探索了線面垂直，著重考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，以及線面平行的判定等知識，屬于中檔題．